나이키스트와 샤논 (Shannon) 표본화 정리

아날로그 신호를 디지털 신호로 변환하기 위해서는 표본화, 양자화, 부호화의 과정을 거친다. 특히, 표본화는 입력 신호를 시간영역에서 이산하는 과정으로 나이키스트 표본화 이론을 확장한 샤논의 표본화 정리를 기본으로 한다. 

나이키스트 표본화 주파수 정리
표본화주파수 산정의 기초가 되는 "나이키스트 간격"을 창안한 사람은 스웨덴 출신의 미국 전기통신 공학자인 나이키스트 (Harry Nyquist)이다. 

                                 fs = 2fm

나이키스트 정리는 디지털 전송에서 부호 간 건섭을 없애는 조건으로 입력 신호의 최고 주파수의 2 배 이상의 속도로 균일한 간격으로 표본화를 하면 원 신호를 충실히 복원할 수 있다는 것이다. 샤논은 나이키스트 정리를 확장하여 표본화 주파수가 나이키스트 표본화 주파수 이상일 때 ( fs ≥ 2fm ) 엘리어싱이 생기지 않는다는 것을 정리하였다. 

샤논(Shannon)의 표본화 (Sampling) 정리 개요
표본화는 아날로그 신호를 이산(Digital) 신호로 변환하여 송신하는 것을 말한다. 샤논의 표본화정리는 한정된 대역의 주파수를 갖는 어떤 신호의 최대 주파수의 2배 이상의 속도로 균일한 간격의 표본화를 실시하면, 표본화된 데이터에서 원래의 신호를 재생할수 있다는 것이다. 

 fs ≥ 2fm , Ts ≤ 1/2fm (fs :표본화주파수, fm :최대주파수, Ts :표본화주기)

 2fm : 나이퀴스트 주파수, 1/2fm : 나이퀴스트 시간(간격)

첫 수식을 이해하기 위새서는 주기(T)는 주파수(f)에 반비례하므로  T=1/f 임을 상기하자. 나이키스트 간격이 짧아질수록 데이타 복원의 정확성은 증가하지만 정보량이 증가하여 전송 속도의 고속화가 요구되는 단점이 있다. 

만일 표본화 주파수가 최대 주파수 (fm )의 2배 보다 작거나 클 경우를 생각해 보자

(a) fs ≥ 2fm 
     최대 주파수가 순간적으로 커지더라도 파형이 겹치지 않으므로 효과적이다.

(b) fs = 2fm 
     나이키스트 표본화 주파수로 이 조건에 만족하는 필터의 설계가 어렵고, 만일 최대주파수보다 큰 주파수가 인입될 경우에 파형이 겹치는 현상이 발생 

(c) fs ≤ 2fm 
     스펙트럼 중첩 현상 발생 (aliasing)

엘리어싱 대책

표본화 주파수가 나이퀴스트 속도 이하 일때 (  fs <  2fm) 스펙트럼 중첩 (Aliasing)현상이 발생한다. 스펙트럼 중첩 (Aliasing)은 원 신호를 왜곡하므로 다음과 같은 해결책이 있다.

• 신호파 입력시 LPF (Low Pass Filter)를 통과시켜 고조파 성분의 신호가 표본화되지 않도록 함 
• 표본화 주파수를 최대주파수보다 2배 높게 사용

통신시스템에서 엘리어싱을 억제하는 예를 음성 표본화를 사용하는 전화망에서 찾을 수 있다. 음성 주파수은 300 ~ 3.4KHz이므로 표본화 주파수는 6.8KHz이면 충분하지만, 엘리어싱 현상을 해결하기 위해 표본화주파수가 최대 주파수의 2배 이상이 되도록 8KHz로 표본화 주파수를 사용하고, 3.4 KHz의 대역 제한 LPF를 이용한다. 이럴 경우 삼각형의 스펙트럼이 겹치지 않는0.6kHz의 보호 대역 (Guard band)가 만들어 진다. 

따라서, 나이키스트 표본화 주파수 관계식과 샤논의 표본화 정리에 기초하여 엘리어싱이 생기지 않게 다음과 같이 설계한다.